Fig.: to exercise your power or authority unfairly to get what you want

There were only two seats left on the airplane, so the boss pulled rank and travelled first class, while the employee, had to settle for economic

C'erano solo due posti liberi sull'aereo, e così il capo ha fatto valere la propria posizione e ha viaggiato in prima classe, mentre l'impiegato si è dovuto accontentare della classe economica

I hope you don't think I'm trying to throw my weight around here, but considering what I've done for this committee, I think you'd better listen to me

Non per far pesare la mia posizione, ma in considerazione di tutto quello che ho fatto per questo comitato, penso che fareste meglio ad ascoltarmi

This expression dates from the early twentieth century and uses weight in the sense of authority