Meanings
Fig.: to learn something very early in life or at the beginning of one's career; to gain experience with something

Examples
As I cannot afford a lawyer, I hope the Court won't appoint me an inexperienced lawyer who still needs to cut his teeth
Dato che non posso pagarmi un avvocato, spero che non mi diano un difensore d'ufficio alle prime armi, che deve farsi le ossa

Our best foreign politics expert cut his diplomatic teeth in the United Nations
Il miglior esperto di politica estera che abbiamo, si è fatto le ossa alle Nazioni Unite

Lucrezia, although very young, is a successful fashion designer. No wonder, since she cut her eyeteeth in her parents' fashion atelier
Non mi meraviglia il fatto che Lucrezia, nonostante la giovane età, sia già una stilista di successo. Bella forza: si è fatta le ossa nell'atelier di moda dei genitori

Origin
The term refers to the fact that baby's teeth literally cut through the gums to emerge