
Beat one's brains out
Pick one's brains / Rack one's brains / Cudgel one's brain / Stress one's brains

Lambiccarsi il cervello 
Scervellarsi / Spremersi le meningi / Far lavorare le meningi / Far lavorare il cervello / Far fumare il cervello / Rompersi la testa / Arrovellarsi il cervello
Pick one's brains / Rack one's brains / Cudgel one's brain / Stress one's brains

Lambiccarsi il cervello 
Scervellarsi / Spremersi le meningi / Far lavorare le meningi / Far lavorare il cervello / Far fumare il cervello / Rompersi la testa / Arrovellarsi il cervello
Meanings
Fig.: to try very hard to understand, solve, do or remember something
Examples

The school doesn't have any money left so the teachers have to rack their brains on how to use the material they already have in the lab, without buying any new one
La scuola è rimasta completamente senza denaro e gli insegnanti devono
scervellarsi per utilizzare il materiale che già hanno in laboratorio
senza comperarne di nuovo
What do you mean you can't think of anything for my birthday?!? Try picking your brains and you'll find something!
Come sarebbe a dire che non sai che regalo farmi per il mio
compleanno?!? Prova a spremerti le meningi e vedrai che troverai
qualcosa!
“Utopia? Where the heck is Utopia?” “Don't stress your brains. There's no such place”
“Utopia? Dove diavolo è Utopia?” “Non farti fumare il cervello. Utopia non esiste”Origin
Christopher Marlow used this hyperbolic idiom in The massacre of Paris (1593):
“Guise beats his brains to catch us in his trap.” (Christine Ammer: The American Heritage Dictionary of Idioms)
“Guise beats his brains to catch us in his trap.” (Christine Ammer: The American Heritage Dictionary of Idioms)