Fig.: to feel more important than one really is; to be arrogant and cocky

Vogue's director, talking about the capricious top-model, said that she has been lavished with everything. Now she thinks she's fabulous and she's getting a little bit too big for her boots

Il direttore di Vogue, parlando della capricciosa top-model, ha detto che le è stato concesso tutto, perciò ora si crede fantastica e si è montata un po' la testa

Ornella is the secretary of the big boss and she thinks she can rule the company. I'm afraid she got too big for her britches and sooner or later someone will put her back to her place

Ornella è la segretaria del grande capo e crede di poter comandare tutti. Ho paura che si sia montata la testa e che prima o poi qualcuno la rimetterà al suo posto

Don't be silly and calm down. You passed your exam, but you did just OK. You didn't do anything special, so don't get a big head about it

Calmati e non fare lo stupido. Hai superato l'esame, è vero, ma te la sei cavata appena appena. Non hai fatto niente di speciale, perciò non montarti la testa

Ever since Manuela shot an ad for a local TV, she became so full of herself that she doesn't even greet us any more

Da quando Manuela ha girato uno spot pubblicitario per una TV locale, si è montata la testa e non ci saluta quasi più

Paul always thought very highly of himself, but now that he's been elected captain of the team, he got really swell-headed

Paul ha sempre avuto un'ottima opinione di sé, ma ora che è stato nominato capitano della squadra, si è veramente montato la testa

The breeches (or britches as they are called in the U.S.A.), originally indicated a covering for that part of the body between the waist and the knees; by the XVI century it also meant pants.
The first appearance in writing of today's expression was in H. G. Wells's "Kipp, the Story of a Simple Soul", as recently as 1905, although it was in use in the U.S.A. before 1850